Отсроченная пожизненная рента пренумерандо \({}_m|\ddot{a}_x\)
●Человеку 50 лет, он копит на пенсию. Выплаты по 1 ₽ в год начнутся не сейчас, а через 15 лет — в 65, и пойдут пожизненно. Первые 15 лет — тишина. Сколько такая отложенная пенсия стоит сегодня? Это отсроченная рента \({}_m|\ddot{a}_x\).
Два взгляда на одно и то же. Первый: берём пожизненную ренту, начинающуюся в возрасте \(x+m\) (\(\ddot{a}_{x+m}\)), и переносим её к моменту 0 — дисконтируем на \(v^m\) и умножаем на вероятность дожить \({}_m p_x\). Второй: из полной пожизненной вычитаем срочную за период отсрочки: \({}_m|\ddot{a}_x = \ddot{a}_x - \ddot{a}_{x:\overline{m}|}\).
Рисуем те же столбики приведённой стоимости \(v^k\,{}_kp_x\), но первые \(m\) лет — серая «зона отсрочки», где выплат нет (высота 0). Оранжевые столбики стартуют только с \(k = m\) — видно, как поток целиком сдвинут вправо. Сумма оранжевых столбиков и есть \({}_m|\ddot{a}_x\). Слайдеры — отсрочка \(m\) и ставка \(i\): больше отсрочка — дальше старт и меньше рента. Покрутить: python viz.py --interactive.
✍️ Разберём на числах
Возьмём \(x = 50\), \(m = 15\), \(i = 4\%\). Множитель «дожить и продисконтировать»: \(v^{15}\,{}_{15}p_{50} \approx 0{,}489\). Пожизненная рента с 65 лет: \(\ddot{a}_{65} = 12{,}28\). Перемножаем: \({}_{15|}\ddot{a}_{50} = 0{,}489 \cdot 12{,}28 = 6{,}00\). Проверка дополнением: \(\ddot{a}_{50} - \ddot{a}_{50:\overline{15}|} = 17{,}11 - 11{,}10 = 6{,}01\) — сходится с точностью до округления. (Числа проверены python по Актуарным иллюстративным таблицам ЦБ РФ 2016.)
📐 Формула
\({}_m|\ddot{a}_x = v^m\,{}_m p_x\,\ddot{a}_{x+m} = N_{x+m}/D_x\), где \(v = 1/(1+i)\), \({}_m p_x\) — вероятность дожить \(m\) лет, \(\ddot{a}_{x+m}\) — пожизненная рента в возрасте \(x+m\). Эквивалентно через дополнение \({}_m|\ddot{a}_x = \ddot{a}_x - \ddot{a}_{x:\overline{m}|}\).