●Отложенная пенсия начинает платить через \(5\) лет. Какова вероятность, что \(50\)-летний сначала доживёт эти \(5\) лет, а потом умрёт в следующие \(10\)? Это отсроченная смертность \({}_{5|10}q_{50}\).
Два этапа подряд: сперва дожить отсрочку \(n\) лет, затем умереть за \(m\) лет. Перемножаем вероятности этих этапов. Через таблицу это просто разность \(l\) в начале и конце «окна», делённая на \(l_x\).
✍️ Разберём на числах
По Актуарным иллюстративным таблицам ЦБ для \(x = 50\), \(n = 5\), \(m = 10\): окно смерти — между возрастами \(55\) и \(65\). Живых: \(l_{55} = 89\,879\), \(l_{65} = 81\,262\), \(l_{50} = 92\,316\). Тогда \({}_{5|10}q_{50} = \dfrac{l_{55} - l_{65}}{l_{50}} = \dfrac{89\,879 - 81\,262}{92\,316} \approx 0{,}09334\). Около \(9{,}3\%\): дожить до \(55\) и умереть до \(65\).
📐 Формула
\({}_{n|m} q_x = {}_n p_x \cdot {}_m q_{x+n} = \dfrac{l_{x+n} - l_{x+n+m}}{l_x}\); \(n\) — отсрочка, \(m\) — длина окна смерти (лет).