●Полис на \(10\) лет выплатит, если застрахованный умрёт в этот срок. Какова вероятность такого события для \(50\)-летнего? Это \(t\)-летняя вероятность смерти \({}_{10}q_{50}\).
Умереть за \(t\) лет — значит НЕ дожить \(t\) лет. Поэтому просто вычитаем вероятность дожития из единицы. И осторожно: умножать \(q_x\) на \(t\) нельзя — за много лет это даёт чепуху.
✍️ Разберём на числах
По Актуарным иллюстративным таблицам ЦБ для \(x = 50\), \(t = 10\): из atom t-year-survival \({}_{10}p_{50} \approx 0{,}93501\). Тогда \({}_{10}q_{50} = 1 - {}_{10}p_{50} = 1 - 0{,}93501 \approx 0{,}06499\). Проверка через \(l_x\): \((l_{50} - l_{60})/l_{50} = (92\,316 - 86\,316)/92\,316 \approx 0{,}06499\). Около \(6{,}5\%\).
📐 Формула
\({}_t q_x = 1 - {}_t p_x = \dfrac{l_x - l_{x+t}}{l_x}\); \(l_x\) — число живых, \(t\) — срок (лет).