●Клиент хочет, чтобы 1 ₽ вернулся в любом случае: умрёт за \(n\) лет — выплата наследникам; доживёт — выплата ему самому. Деньги не пропадут никогда. Сколько стоит такая «гарантия»? Это смешанная страховка \(A_{x:\overline{n}|}\).
Два сценария взаимоисключающи и вместе покрывают всё: смерть до \(x+n\) ИЛИ дожитие до \(x+n\). Значит просто складываем две уже знакомые цены — срочную страховку (на смерть) и чистое дожитие (на выживание).
✍️ Разберём на числах
\(x = 50\), \(n = 10\), \(i = 4\%\). Срочная часть \(A^1_{50:\overline{10}|} = 0{,}05146\), дожитие \({}_{10}E_{50} = 0{,}63166\). Сумма: \(A_{50:\overline{10}|} = 0{,}05146 + 0{,}63166 \approx 0{,}68311\). Дожитие даёт львиную долю цены — выплата почти наверняка состоится. (Сумма \(0{,}68311\) проверена python по таблицам ЦБ.)
📐 Формула
\(A_{x:\overline{n}|} = A^1_{x:\overline{n}|} + A_{x:\overset{1}{\overline{n}|}} = (M_x - M_{x+n} + D_{x+n})/D_x\), где второе слагаемое \(A_{x:\overset{1}{\overline{n}|}} = {}_nE_x\) — чистое дожитие. Без него это уже term. Premium conversion: \(A_{x:\overline{n}|} = 1 - d\,\ddot{a}_{x:\overline{n}|}\).