Справочник › Теория вероятностей › Непрерывные распределения › Экспоненциальное распределение \(\mathrm{Exp}(\lambda)\)
Экспоненциальное распределение \(\mathrm{Exp}(\lambda)\)
●Страховщик получает обращения со средней скоростью 2 в час (\(\lambda=2\)). Какова вероятность, что следующее обращение придёт в течение 30 минут (\(0{,}5\) ч)?
Экспоненциальное — это «время ожидания» пуассоновского потока. Чем больше \(\lambda\) (частота), тем меньше время ожидания. Меморибесс: уже прождав час, вероятность ждать ещё — та же, что с нуля!
График PDF \(\lambda e^{-\lambda x}\): начинается в \(\lambda\) при \(x=0\), убывает экспоненциально.
✍️ Разберём на числах
\(\lambda=2\), \(x=0{,}5\): \(P(X \leq 0{,}5) = 1 - e^{-2 \cdot 0{,}5} = 1 - e^{-1} = 1 - 0{,}3679 = 0{,}6321\).
📐 Формула
\[F(x) = P(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x},
\quad E[X] = \frac{1}{\lambda},\quad Var[X] = \frac{1}{\lambda^2}.\]
→\(\mathrm{Exp}(\lambda) = \mathrm{Gamma}(1, \lambda)\). Сумма \(k\) независимых \(\mathrm{Exp}(\lambda) \sim \mathrm{Gamma}(k, \lambda)\).
Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.
Решить в боте →