Справочник › Теория риска › Распределения ущерба (хвосты) › Gamma и экспоненциальное распределение

Gamma и экспоненциальное распределение

●Страховщик добровольного медицинского страхования видит, что расходы на лечение имеют пологую «горку»: мелких случаев много, крупных меньше, но хвост убывает быстро. Exp слишком «крутая», а Pareto избыточно тяжёлая. На помощь приходит Gamma.

Exp — это Gamma с одним «шагом»: время до первого события. $\mathrm{Gamma}(2, \lambda)$ — сумма двух таких шагов (два этапа лечения). Параметр $\alpha$ управляет «сглаженностью» горбика: при $\alpha = 1$ — крутой спуск, при $\alpha = 5$ — уже почти симметричный колокол.

$Три кривые плотности: $\mathrm{Exp}(\lambda)$ и $\mathrm{Gamma}(2, \lambda)$, $\mathrm{Gamma}(5, \lambda)$. Показать, ка$

Три кривые плотности: $\mathrm{Exp}(\lambda)$ и $\mathrm{Gamma}(2, \lambda)$, $\mathrm{Gamma}(5, \lambda)$. Показать, как горбик «сдвигается» вправо и «расширяется» при росте $\alpha$.

✍️ Разберём на числах

$X \sim \mathrm{Gamma}(3,\ 0.01)$. Тогда $E[X] = 3/0.01 = 300$ ₽, $\mathrm{Var}[X] = 3/0.01^2 = 30\,000\ \text{₽}^2$. Для $\mathrm{Exp}(0.01)$: $E[X] = 100$ ₽. $\mathrm{Gamma}(3)$ описывает «более тяжёлый» случай, чем Exp.

📐 Формула

\[E[X] = \frac{\alpha}{\lambda}, \quad \mathrm{Var}[X] = \frac{\alpha}{\lambda^2}\]

$\alpha$ — параметр формы (shape), $\lambda$ — параметр интенсивности (rate). При $\alpha = 1$: $\mathrm{Gamma} \equiv \mathrm{Exp}(\lambda)$.

→Gamma и Exp — «лёгкие» хвосты: все моменты конечны. Для более гибкой формы хвоста (умеренно-тяжёлый) — Weibull и Burr, следующий атом.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →