●Нетто-премия — это цена «в вакууме». В реальном договоре стоит брутто-премия \(P^g\): она кроме выплат покрывает ещё и расходы компании — оформление, ведение, рассылки. Именно эту цифру видит клиент. Соберём её из уже знакомых кирпичиков.
Возвращаемся к весам, но теперь на чашу расходов кладём корзины из урока про классификацию. Слева (втекает) — премии \(P^g\cdot\ddot a_x\). Справа (вытекает) — выплаты \(S\cdot A_x\) плюс начальные \(I\) плюс поток возобновительных \(e\cdot\ddot a_x\). Приравниваем и выражаем \(P^g\). Видно: \(P^g\) — это нетто-премия плюс «нагрузка» под расходы.
✍️ Разберём на числах
Уравнение: \(P^g\cdot\ddot a_x = S\cdot A_x + I + e\cdot\ddot a_x\), отсюда \(P^g = (S\cdot A_x + I)/\ddot a_x + e\). Возьмём \(x = 50\), \(S = 100\,000\) ₽, \(i = 4\%\), initial \(I = 500\) ₽, renewal \(e = 20\) ₽/год. По таблицам \(A_{50} = 0{,}341\), \(\ddot a_{50} = 17{,}11\): \(P^g = (100\,000\cdot 0{,}341 + 500)/17{,}11 + 20 \approx 2\,042\) ₽/год. Сравните с нетто \(1\,993\) ₽: надбавка \(\approx 49\) ₽ — и есть нагрузка на расходы. (Число проверено python по Актуарным иллюстративным таблицам ЦБ РФ 2016.)
📐 Формула
\(P^g = \dfrac{S\cdot A_x + I}{\ddot a_x} + e\), из уравнения \(P^g\cdot\ddot a_x = S\cdot A_x + I + e\cdot\ddot a_x\). \(I\) — initial (момент 0), \(e\) — renewal (₽/год). Есть claim expenses \(E_c\) — заменяем \(S\cdot A_x\) на \((S+E_c)\cdot A_x\). Частая ошибка: забыть, что \(e\) платится и в первый год тоже.