●В with-profits полисе страховая сумма не стоит на месте — каждый год к ней добавляют бонус (reversionary bonus). Клиент умрёт через 30 лет — получит уже не \(100\,000\) ₽, а заметно больше. Как посчитать премию, если сама выплата растёт год от года?
Есть красивый трюк. Растущая на \((1+b)\) в год выплата при дисконте \((1+i)\) — это то же самое, что постоянная выплата при «дефлированной» ставке \(j = (1+i)/(1+b) - 1\). Рост \(b\) как бы съедает часть дисконта. Поэтому EPV выплат считаем обычной формулой \(A_x\), но по ставке \(j\), а не \(i\). Премии и расходы при этом дисконтируем по-прежнему по \(i\) — они-то не растут.
✍️ Разберём на числах
\(P^g = \dfrac{S/(1+b)\cdot A_x^{(j)} + I}{\ddot a_x} + e\). Возьмём \(x = 40\), \(S = 100\,000\) ₽, \(i = 4\%\), бонус \(b = 2\%\), \(I = 500\) ₽, \(e = 20\) ₽/год. Дефлированная ставка \(j = 1{,}04/1{,}02 - 1 \approx 1{,}96\%\). По таблицам \(A_{40}^{(j)} \approx 0{,}485\) (выше, чем \(A_{40} = 0{,}249\) при \(4\%\) — ставка-то ниже), \(\ddot a_{40} = 19{,}51\). Тогда \(P^g = (100\,000/1{,}02\cdot 0{,}485 + 500)/19{,}51 + 20 \approx 2\,481\) ₽/год. (Число проверено python по Актуарным иллюстративным таблицам ЦБ РФ 2016.)
📐 Формула
\(P^g = \dfrac{S/(1+b)\cdot A_x^{(j)} + I}{\ddot a_x} + e\), где \(j = (1+i)/(1+b) - 1\), \(S\) — гарантированная начальная сумма, \(b\) — годовой reversionary bonus (compound), \(A_x^{(j)}\) — страховка по ставке \(j\), \(I,e\) — initial и renewal. Выплаты — по \(j\), премии и расходы — по \(i\). Не путать с AWP, где растёт фонд, а не страховая сумма.