Функция правдоподобия \(L(\theta)\) (англ. likelihood function)
●Вы провели 10 испытаний, получили 3 успеха. Какое значение p «наиболее вероятно» объясняет эти данные? Вопрос — это и есть задача оценки правдоподобия.
Функция правдоподобия \(L(p)\) — это «насколько вероятны такие данные при данном p?» Мы не меняем данные, мы меняем параметр p и смотрим, при каком p данные выглядят «наиболее правдоподобно».
График \(L(p)\) как функции от p при фиксированных \(n=10\), \(k=3\). Колоколообразная кривая с максимумом в точке \(p=0.3=k/n\).
✍️ Разберём на числах
\(L(p) = p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). Без коэффициента \(C(n,k)\), потому что он от p не зависит. Максимум при \(p=k/n\) — это МНП-оценка.
⚠️ ЧАСТАЯ ОШИБКА: Писать \(L = p \cdot n_1 + (1-p) \cdot n_2\) — это НЕВЕРНО. Правильно: \(L = p^{n_1} \cdot (1-p)^{n_2}\). Вероятности возводятся в степень частот, а не умножаются на них.
📐 Формула
bayes-rule).