Смысл неравенства Лундберга
●Формула \(\psi(u) \leq e^{-Ru}\) выглядит просто. Но за ней скрыты три важных вопроса: что именно она гарантирует? Что значит «большой \(R\)»? И почему нельзя подставить в неё верхнюю оценку \(R\)?
Неравенство Лундберга — это страховочная сетка: какой бы ни была точная вероятность разорения, она не превысит \(e^{-Ru}\). \(R\) — «скорость убывания»: при \(R = 0{,}005\) и \(R = 0{,}001\) одно и то же \(u = 1000\) даёт границы \(e^{-5} \approx 0{,}007\) и \(e^{-1} \approx 0{,}368\) — разница на порядок. Большой \(R\) — надёжный портфель.
Стрелка «истинный \(R\)» → «истинная граница \(e^{-Ru}\)»; стрелка «верхняя оценка \(\bar{R} > R\)» → «заниженная граница \(e^{-\bar{R}u} < e^{-Ru}\)»; подпись: «завышенный \(R\) → оптимистичная (недействительная) оценка».
✍️ Разберём на числах
Пусть у нас есть оценка \(R \leq 0{,}003\) (верхняя граница \(R\)). Если подставить \(0{,}003\) вместо \(R\) в \(e^{-Ru}\): при \(u = 500\) получим \(e^{-1{,}5} \approx 0{,}223\). Но реальная граница \(\psi(u) \leq e^{-Ru} \geq e^{-0{,}003 \cdot 500} = 0{,}223\) — это НИЖНЯЯ оценка правой части, а не верхняя \(\psi(u)\). Мы не гарантируем \(\psi(u) \leq 0{,}223\).
📐 Формула
\(\psi(u) \leq e^{-Ru}\) — строгая верхняя граница при истинном \(R\). \(R\) — adjustment coefficient, корень уравнения \(\lambda M_X(r) = \lambda + c r\). Для верхней оценки \(\psi(u)\) нужно само \(R\) или его нижняя оценка (не верхняя). Большее \(R \Rightarrow\) более быстрое убывание \(\Rightarrow\) надёжнее портфель.