Справочник › Актуарная математика › Таблица смертности: основы и селекция › Функция числа доживших $l_x$

Функция числа доживших $l_x$

●Если выстроить $100\,000$ новорождённых и посмотреть, сколько из них доживут до $20$, до $60$, до $90$ лет — какой будет форма этой убывающей линии? Это график функции $l_x$.

$l_x$ — «сколько ещё в живых». Линия стартует с радикса $l_0$ и только падает: сначала медленно (молодые почти не умирают), потом всё круче, и к предельному возрасту $\omega$ уходит в ноль.

$Рисуем: горизонталь — возраст $x$ от $0$ до $100$, вертикаль — число живых $l_x$; кривая стартует с радикса $100\,000$,$

Рисуем: горизонталь — возраст $x$ от $0$ до $100$, вертикаль — число живых $l_x$; кривая стартует с радикса $100\,000$, держится почти плоской до $\sim 60$, затем круто обрушивается к нулю у $\omega = 100$. Слайдер — радикс $l_0$ (вся кривая масштабируется, форма та же). Покрутить: python viz.py --interactive.

✍️ Разберём на числах

По Актуарным иллюстративным таблицам ЦБ: из $l_0 = 100\,000$ новорождённых до $20$ лет доживают $l_{20} = 98\,349$, до $60$ — $l_{60} = 86\,316$, до $90$ — $l_{90} = 14\,053$. Видно ускорение: за $40$ лет с $20$ до $60$ когорта потеряла около $12\,000$ человек, а за следующие $30$ лет (с $60$ до $90$) — уже более $72\,000$. К $\omega = 100$ остаётся $l_{100} \approx 0$.

📐 Формула

$l_x = l_0 \cdot {}_x p_0$ — число доживших до точного возраста $x$; $d_x = l_x - l_{x+1}$; $p_x = l_{x+1}/l_x$; $q_x = d_x/l_x$. Радикс $l_0 = 100\,000$, предельный возраст $\omega = 100$, $l_\omega = 0$.

→Дальше — atom one-year-survival: из соседних $l_x$ и $l_{x+1}$ соберём вероятность дожить год $p_x$.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →

Функция числа доживших \(l_x\)