●Откуда страховщик берёт цифру «вероятность дожить год для 60-летнего»? Не из воздуха, а из таблицы смертности — большого справочника, где каждому возрасту сопоставлены число живых и шансы дожить и умереть. Разберём, как она устроена.
Берём условную когорту в \(100\,000\) новорождённых и шаг за шагом «убиваем» её по реальным частотам смертей. На каждом возрасте записываем, сколько осталось живых — это и есть таблица.
✍️ Разберём на числах
По Актуарным иллюстративным таблицам ЦБ возьмём возраст \(x = 60\). Живых в \(60\) лет: \(l_{60} = 86\,316\); в \(61\) год: \(l_{61} = 85\,441\). Тогда умерло за год: \(d_{60} = l_{60} - l_{61} = 86\,316 - 85\,441 = 875\) человек. Вероятность дожить год: \(p_{60} = l_{61}/l_{60} = 85\,441/86\,316 \approx 0{,}98986\). Вероятность умереть: \(q_{60} = d_{60}/l_{60} = 875/86\,316 \approx 0{,}01014\). Проверка: \(p_{60}+q_{60}=1\).
📐 Формула
\(l_x\) — число доживших до точного возраста \(x\); \(d_x = l_x - l_{x+1}\) — умершие за год; \(p_x = l_{x+1}/l_x\) — дожить год; \(q_x = d_x/l_x = 1 - p_x\) — умереть за год. Радикс \(l_0 = 100\,000\).