Связь \(\mu\) и \({}_t p_x\)
●Сила смертности \(\mu_x\) описывает риск в каждый момент. Но клиент спрашивает другое: «Какова вероятность, что я доживу до пенсии?» Как из мгновенного \(\mu\) собрать вероятность дожить \(t\) лет, \({}_t p_x\)? Через интеграл силы смертности.
Риск смерти накапливается по всему отрезку. Сложим (проинтегрируем) \(\mu\) от 0 до \(t\), возьмём экспоненту с минусом — получим вероятность дожития \({}_t p_x\).
Рисуем: график \(\mu_{x+s}\) по \(s\) от 0 до \(t\), закрашиваем площадь под ним (это \(\int \mu\,ds\)); рядом — как растёт «накопленный риск». Покрутить: python viz.py --interactive.
✍️ Разберём на числах
Пусть сила смертности постоянна, \(\mu = 0{,}02\), и нужно дожить \(t = 10\) лет. Интеграл \(\int_0^{10} 0{,}02\,ds = 0{,}02 \cdot 10 = 0{,}2\). Тогда \({}_t p_x = e^{-0{,}2} \approx 0{,}8187\). Значит дожить 10 лет — шанс около \(81{,}9\%\).
📐 Формула
\({}_t p_x = e^{-\int_0^t \mu_{x+s}\,ds}\). При постоянной \(\mu\) интеграл \(= \mu \cdot t\), поэтому \({}_t p_x = e^{-\mu t}\).