●Мы умеем считать вероятность дожить \({}_t p_x\). Но страховщику нужна обратная сторона: вероятность УМЕРЕТЬ за \(t\) лет, \({}_t q_x\). Можно ли получить её прямо из силы смертности \(\mu\), не вычитая из единицы? Да — интегральной формулой.
Чтобы умереть на отрезке \([0, t]\), надо дожить до какого-то момента \(s\) и умереть именно в нём. Перебираем все такие \(s\) и складываем (интегрируем) эти шансы.
✍️ Разберём на числах
Пусть сила смертности постоянна, \(\mu = 0{,}02\), срок \(t = 10\) лет. \({}_t q_x = \int_0^{10} {}_s p_x \cdot \mu_{x+s}\,ds\). При постоянной \(\mu\) имеем \(\mu_{x+s} = \mu = 0{,}02\), поэтому \({}_t q_x = 1 - e^{-\mu t} = 1 - e^{-0{,}2} \approx 0{,}1813\). Проверка: \({}_t p_x + {}_t q_x = 0{,}8187 + 0{,}1813 = 1\). Сходится.
📐 Формула
\({}_t q_x = \int_0^t {}_s p_x \cdot \mu_{x+s}\,ds\). При постоянной \(\mu\) это \(1 - e^{-\mu t} = 1 - {}_t p_x\).