Справочник › Теория вероятностей › Дискретные распределения › Отрицательное биномиальное распределение \(\mathrm{NegBin}(k, p)\) — Тип 1
Отрицательное биномиальное распределение \(\mathrm{NegBin}(k, p)\) — Тип 1
●Нужно \(k=3\) продажи. Сколько звонков понадобится? Отрицательный бином обобщает геометрическое: вместо ожидания первого успеха ждём \(k\)-го.
На позиции \(x\) произошёл \(k\)-й успех. Значит, в первых \(x-1\) испытаниях было ровно \(k-1\) успехов (выбираем их из \(x-1\): \(\binom{x-1}{k-1}\) способами), и последнее испытание — успех. \(P(X=x) = \binom{x-1}{k-1} p^{k-1}(1-p)^{x-k} \cdot p = \binom{x-1}{k-1}p^k(1-p)^{x-k}\).
✍️ Разберём на числах
\(k=2\), \(p=0{,}4\), \(x=5\): второй успех на 5-м испытании. \(P(X=5) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^3 = 4 \cdot 0{,}16 \cdot 0{,}216 = 0{,}1382\).
\(E[X] = k/p = 2/0{,}4 = 5\) — среднее число звонков до 2-й продажи.
📐 Формула
\[P(X=x)=\binom{x-1}{k-1}p^k(1-p)^{x-k},\quad E[X]=\frac{k}{p},\quad
Var[X]=\frac{k(1-p)}{p^2}.\]
→Пуассон — предельный случай NegBin при \(k \to \infty\), \(p \to 1\),
\(k(1-p)/p \to \lambda\) (так называемая «пуассоновская граница»).
Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.
Решить в боте →