Справочник › Теория риска › Франшизы и чистый иск › Моменты ограниченного иска

Моменты ограниченного иска

●Страховщик знает среднюю выплату $E[\min(X, M)]$. Но для расчёта рисковой надбавки нужна ещё дисперсия. Насколько разброс выплат сокращается после «срезки» хвоста удержанием $M$?

XL-удержание буквально «срезает» правый хвост распределения: вместо $X$ мы считаем $\min(X, M)$, у которого не бывает значений выше $M$. Значит, и дисперсия меньше, чем у $X$. Для Парето с $\alpha > 2$ оба момента $E[Y]$ и $E[Y^2]$ имеют замкнутые формулы через $r = \lambda/(\lambda + M)$.

$Гистограмма: $\min(X, M)$ — «усечённое» распределение. Видно, что при $x = M$ накапливается масса вероятности (правый «г$

Гистограмма: $\min(X, M)$ — «усечённое» распределение. Видно, что при $x = M$ накапливается масса вероятности (правый «горб»), а хвоста нет.

✍️ Разберём на числах

$\mathrm{Pareto}(\alpha = 3, \lambda = 5000)$, $M = 1000$, $r = 5000/6000 = 0{,}8333$. $E[Y] = (5000/2) \cdot (1 - r^2) = 2500 \cdot (1 - 0{,}6944) \approx 764$. $E[Y^2]$ по формуле $\approx 1\,283\,000$ (примерно). $\mathrm{Var}[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 \approx 1\,283\,000 - 583\,000 \approx 700\,000$. Для сравнения: $\mathrm{Var}[X] = \lambda^2/((\alpha-1)^2(\alpha-2)) = 12\,500\,000$ — намного больше.

📐 Формула

\[E[Y^2] = \frac{2\lambda^2}{(\alpha-1)(\alpha-2)}\left(1 - r^{\alpha-2}\right) - \frac{2\lambda M}{\alpha-1}\,r^{\alpha-1}\]

\[\mathrm{Var}[Y] = E[Y^2] - \left(E[Y]\right)^2, \quad r = \frac{\lambda}{\lambda + M}\]

Условие: $\alpha > 2$ (только тогда $\mathrm{Var}[X]$ и $\mathrm{Var}[Y]$ конечны).

→Среднее и дисперсия нетто-иска — два кирпича для нетто-премии страховщика. Но за этим стоит ещё один эффект: что происходит, когда цены растут, а удержание $M$ не индексируется? Это — тема следующего атома про инфляцию.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →