Справочник › Теория риска › Франшизы и чистый иск › Выплата перестраховщика при XL

Выплата перестраховщика при XL

●Перестраховщик подписал XL-договор с удержанием $M = 5000$. По 100 искам он платит только по тем, где $X > 5000$. Как посчитать его среднюю выплату сразу — по всем 100 искам, включая «нулёвки»? Это $E[\max(X - M, 0)]$.

Формула симметрична формуле для франшизы: $E[\max(X - M, 0)]$ — это «правый хвост» $E[X]$, взвешенный на вероятность попасть в хвост. При большом $M$ (высокое удержание) вероятность мала и среднее маленькое; при $M \to 0$ формула стремится к $E[X]$.

$Красная зона $[M, \infty)$ под плотностью Парето — доля перестраховщика. $E[\max(X - M, 0)]$ — площадь красной зоны, умн$

Красная зона $[M, \infty)$ под плотностью Парето — доля перестраховщика. $E[\max(X - M, 0)]$ — площадь красной зоны, умноженная на величину превышения $(x - M)$.

✍️ Разберём на числах

$\mathrm{Pareto}(\alpha = 2, \lambda = 10000)$, $M = 5000$. $E[X] = 10000/(2 - 1) = 10000$. $r = 10000/15000 = 0{,}6667$. $r^1 = 0{,}6667$. $E[\max(X - 5000, 0)] = 10000 \cdot 0{,}6667 \approx 6667$ ₽. $P(X > 5000) = (10000/15000)^2 \approx 0{,}444$ — в 44% случаев перестраховщик платит.

📐 Формула

\[E[\max(X - M,\; 0)] = \frac{\lambda}{\alpha - 1}\left(\frac{\lambda}{\lambda + M}\right)^{\alpha - 1}\]

Обозначения: $M$ (retention limit) — предел удержания; $\alpha, \lambda$ — параметры Парето. $P(X > M) = (\lambda/(\lambda + M))^\alpha$ — используют для проверки: условное среднее $=$ безусловное $/ P(X > M)$.

→Мы умеем считать и нетто-иск страховщика $E[\min(X, M)]$, и нетто-иск перестраховщика $E[\max(X - M, 0)]$. Но при расчёте премий нужна ещё и дисперсия — следующий атом.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →