Справочник › Теория риска › Модели риска и суммарный иск › Пуассоновский процесс исков

Пуассоновский процесс исков

●Колл-центр страховой компании. Звонки с авариями поступают непрерывно — один каждые несколько минут. Сколько звонков придёт за час? За день? И как долго ждать следующего? На все эти вопросы отвечает пуассоновский процесс.

Пуассоновский процесс — это «идеальный» случайный поток событий: · каждый малый промежуток времени $\Delta t$ приносит иск с вероятностью $\lambda\Delta t$, · в разные промежутки всё происходит независимо, · два иска одновременно — невозможно. Параметр $\lambda$ — интенсивность: сколько исков ожидается в единицу времени. Число исков за промежуток $\tau$: $N(\tau) \sim \mathrm{Poisson}(\lambda\tau)$. Ожидание $=$ дисперсия $= \lambda\tau$.

$График траектории $N(t)$: ступенчатая функция, растущая скачками $+1$ в случайные моменты; под ней — интервалы $\mathrm{$

График траектории $N(t)$: ступенчатая функция, растущая скачками $+1$ в случайные моменты; под ней — интервалы $\mathrm{Exp}(\lambda)$ между скачками.

✍️ Разберём на числах

$\lambda = 5$ исков/день. За 3 дня: $E[N(3)] = \mathrm{Var}[N(3)] = 15$. $P(\text{ровно 12 исков за 3 дня}) = e^{-15} \cdot 15^{12} / 12! \approx 0{,}0829$. Время до следующего иска: $\tau \sim \mathrm{Exp}(5)$, $E[\tau] = 1/5 = 0{,}2$ дня $= 4{,}8$ ч.

📐 Формула

\[P(N(t) = k) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}, \quad k = 0,1,2,\ldots\]

\[E[N(t)] = \mathrm{Var}[N(t)] = \lambda t\]

Время между исками: $T_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$, $E[T_i] = 1/\lambda$. Русск.: пуассоновский процесс, интенсивность. Англ.: Poisson process, rate $\lambda$.

→Пуассоновский процесс считает число исков $N(t)$. Но страховщика интересуют не «сколько исков», а «сколько денег выплачено». Следующий атом — сложный пуассоновский процесс $S(t)$: каждый иск имеет случайный размер $X_i$.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →