Байесовское обновление: Beta–Binomial
●Страховщик оценивает вероятность болезни. Исторически: 2 случая из (2+8)=10 «наблюдений» в опыте — априор Beta(2,8), E[p]=0.2. Потом — реальная выборка из 20 застрахованных, 4 заболели. Как обновить оценку?
Beta(a,b) — как «банк предыдущего опыта»: a успехов, b неудач. Добавляем новые данные: k успехов, n-k неудач. Новый банк: Beta(a+k, b+n-k). Апостериор — «объединённый опыт».
![Prior Beta(a,b) и posterior Beta(a+k,b+n-k) на одной оси p ∈ [0,1]. Posterior уже (меньше неопределённости) и сдвинут к](/img/posterior-beta-binomial.png)
Prior Beta(a,b) и posterior Beta(a+k,b+n-k) на одной оси p ∈ [0,1]. Posterior уже (меньше неопределённости) и сдвинут к выборочной средней.
✍️ Разберём на числах
Posterior: Beta(2+4, 8+16) = Beta(6, 24). Prior mean = 2/10 = 0.200. Sample mean = 4/20 = 0.200 (совпало — случайно). Posterior mean = 6/30 = 0.200.
При k=6 (другой пример): Posterior: Beta(2+6, 8+14) = Beta(8, 22). Posterior mean = 8/30 ≈ 0.267. Sample mean = 6/20 = 0.300.
📐 Формула
Posterior mean = (a+k)/(a+b+n). Posterior: Beta(a+k, b+n-k).
posterior-gamma-poisson).
Posterior mean Beta-Binomial = credibility-оценка вероятности.