Справочник › Финансовая математика › Непрерывные и бесконечные потоки платежей › Вечная p-срочная рента

Вечная p-срочная рента

●Фонд платит 12 000 ₽ в год вечно, но ежеквартально (4 раза в год). Ставка 6%. Это дороже обычной вечной ренты — раньше получаете деньги. На сколько дороже?

При $p$ платежах в год номинальная ставка $i^{(p)}$ меньше эффективной $i$: деньги поступают раньше, поэтому PV больше. Формула симметрична обычной вечной ренте — только в знаменателе $i^{(p)}$ вместо $i$.

$PV вечной p-срочной ренты как функция $p$ (1, 2, 4, 12, $\infty$) при $i=6\%$: кривая растёт и стремится к горизонтально$

PV вечной p-срочной ренты как функция $p$ (1, 2, 4, 12, $\infty$) при $i=6\%$: кривая растёт и стремится к горизонтальной асимптоте $X/\delta$ (непрерывный случай).

✍️ Разберём на числах

$X = 12\,000$ ₽/год, $i = 6\% = 0{,}06$, $p = 4$. $i^{(4)} = 4 \cdot ((1{,}06)^{1/4} - 1) = 4 \cdot 0{,}014674 \approx 0{,}058695$. $PV = 12\,000 / 0{,}058695 \approx 204\,445$ ₽. Обычная вечная рента дала бы $12\,000 / 0{,}06 = 200\,000$ ₽ — на 4 445 ₽ меньше.

📐 Формула

\[a^{(p)}_{\overline{\infty}|i} = \frac{X}{i^{(p)}}, \quad i^{(p)} = p \cdot \left((1+i)^{1/p} - 1\right)\]

$X$ — годовая сумма платежей (₽), $p$ — число платежей в год, $i$ — годовая эффективная ставка, $i^{(p)}$ — номинальная ставка.

→При $p \to \infty$ номинальная ставка $i^{(p)} \to \delta = \ln(1+i)$, а рента превращается в непрерывную: $a^{(\infty)}_{\overline{\infty}|i} = X/\delta$. Следующий атом — непрерывная рента на конечном горизонте $\bar{a}_{\overline{n}|i}$.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →