Селективная смертность
●Два человека по \(50\) лет. Один — случайный прохожий, второй вчера прошёл медосмотр и купил полис. У кого ниже риск смерти в этом году — и насколько? Это эффект селекции.
Кто только что прошёл отбор страховщика, в среднем здоровее ровесника «с улицы» — болен бы его не пропустили. Поэтому его смертность сначала ниже общей, но за пару лет преимущество тает.
![Рисуем: горизонталь — годы после отбора $t$, вертикаль — вероятность смерти $q$; две линии — селективная $q_{[50]+t}$ (с](/img/select-mortality.png)
Рисуем: горизонталь — годы после отбора \(t\), вертикаль — вероятность смерти \(q\); две линии — селективная \(q_{[50]+t}\) (стартует ниже) и ultimate \(q_{50+t}\) (выше), они сходятся в точке \(t = s = 2\) и дальше идут вместе. Слайдер — возраст селекции \([x]\). Покрутить: python viz.py --interactive.
✍️ Разберём на числах
По Актуарным иллюстративным таблицам ЦБ для отбора в \(50\) лет: смертность только что отобранного \(q_{[50]} = 0{,}00275\), а у среднего \(50\)-летнего (ultimate) \(q_{50} = 0{,}00459\) — почти вдвое выше. Период селекции \(s = 2\) года, поэтому уже с третьего года смертность совпадает: \(q_{[50]+2} = q_{52} = 0{,}00528\). Эффект отбора «выдыхается» за \(2\) года.
📐 Формула
\(q_{[x]+t} \leq q_{x+t}\) при \(0 \leq t < s\) и \(q_{[x]+t} = q_{x+t}\) при \(t \geq s\); \([x]\) — возраст отбора, \(t\) — годы после него, \(s = 2\) — период селекции, \(q_{x+t}\) — ultimate (общая) смертность.