Процесс капитала (surplus)
●Представьте кассу страховщика: каждый день поступают взносы — и изредка приходит крупный иск. Как выглядит баланс со временем? Процесс капитала \(U(t) = u + c t - S(t)\) даёт точный математический ответ.
Капитал растёт линейно от притока премий \(c t\) и скачкообразно падает при каждом иске \(S(t)\). В среднем ожидаемый суммарный иск \(E[S(t)] = \lambda t\, m_1\), поэтому среднее капитала \(E[U(t)] = u + c t - \lambda t\, m_1\). Если \(c > \lambda m_1\) (нагрузка положительна), среднее растёт — это необходимое условие устойчивости страховщика.
![Траектория $U(t)$: пилообразный рост от премий и скачки вниз при исках; красная пунктирная линия — среднее $E[U(t)] = u](/img/surplus-process.png)
Траектория \(U(t)\): пилообразный рост от премий и скачки вниз при исках; красная пунктирная линия — среднее \(E[U(t)] = u + 40t\).
✍️ Разберём на числах
Пусть \(u = 50\) млн руб., \(c = 60\) млн/год, \(\lambda = 10\) исков/год, \(m_1 = 2\) млн руб. \(E[S(t)] = 10 \cdot t \cdot 2 = 20t\). \(E[U(t)] = 50 + 60t - 20t = 50 + 40t\). Через \(t = 2\) года: \(E[U(2)] = 50 + 80 = 130\) млн руб.
📐 Формула
\(U(t) = u + c t - S(t)\) — процесс капитала (surplus process). \(E[U(t)] = u + c t - \lambda t\, m_1\) — ожидаемый капитал. Здесь: \(u\) — начальный резерв (initial surplus), \(c\) — интенсивность премий (premium rate), \(S(t)\) — compound Poisson process, \(\lambda\) — интенсивность исков, \(m_1 = E[X]\) — средний иск (mean claim).