Справочник › Финансовая математика › Произвольные множители накопления и дисконтирования › Переменная сила процента $\delta(t)$

Переменная сила процента $\delta(t)$

●Ставка на рынке не стоит на месте. Как описать рост капитала, если «скорость роста» меняется каждую секунду?

Сила процента $\delta(t)$ — мгновенная скорость роста в момент $t$: $\delta(t) = \frac{A'(t)}{A(t)}$. Это «газ педали» инвестиции. При константной $\delta$ нажимаем равномерно — получаем $e^{\delta t}$. При переменной $\delta(t)$ нажимаем по-разному — накопление считается через интеграл: $A(T) = \exp\!\left(\int_0^T \delta(t)\,dt\right)$. Интеграл — это суммарная «площадь газа» за весь период.

$Два маленьких рисунка рядом. Слева: графики трёх видов $\delta(t)$ — константа (горизонталь), линейно растущая, линейно$

Два маленьких рисунка рядом. Слева: графики трёх видов $\delta(t)$ — константа (горизонталь), линейно растущая, линейно убывающая. Справа: соответствующие кривые $A(t) = \exp(\int_0^t \delta(s)\,ds)$ за 0–10 лет. Более крутая $\delta$ даёт более высокий $A(t)$.

✍️ Разберём на числах

$\delta(t) = 0{,}05 + 0{,}001 t$ (сила растёт линейно). При $T = 10$: $\int_0^{10}(0{,}05 + 0{,}001 t)\,dt = 0{,}05 \cdot 10 + 0{,}001 \cdot \frac{10^2}{2} = 0{,}5 + 0{,}05 = 0{,}55$. $A(10) = e^{0{,}55} \approx 1{,}7333$. Если бы $\delta = 0{,}05$ (const): $A(10) = e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$. Растущая сила даёт на $5{,}1\%$ больше.

📐 Формула

\[A(T) = \exp\!\left(\int_0^T \delta(t)\,dt\right), \qquad v(0,T) = \exp\!\left(-\int_0^T \delta(t)\,dt\right)\]

$\delta(t)$ — сила процента в момент $t$ (год$^{-1}$), $A(T)$ — коэффициент накопления 1 ₽, $v(0,T)$ — дисконт-фактор.

→Две следующие задачи — практика: кусочная $\delta(t)$, сначала считаем $A(T)$, затем $v(0,T) = 1/A(T)$.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →

Переменная сила процента \(\delta(t)\)