Справочник › Теория риска › Распределения ущерба (хвосты) › Weibull и Burr

Weibull и Burr

●Реальные данные по имущественному страхованию дают хвост «средней тяжести»: ни лёгкий как Exp, ни совсем тяжёлый как Pareto. Weibull и Burr — инструменты актуария для точной подгонки именно таких данных.

Weibull управляет скоростью затухания хвоста через параметр $\gamma$. При $\gamma < 1$ хвост «медленнее» экспоненты, при $\gamma > 1$ — «быстрее». Burr = Weibull с добавочным параметром $\alpha$, который позволяет ещё тоньше регулировать форму. При $\gamma = 1$ Burr превращается в Pareto.

$Функции выживания Exp, $\mathrm{Weibull}(\gamma=0.7)$ и $\mathrm{Weibull}(\gamma=1.5)$ на одном графике в логарифмическо$

Функции выживания Exp, $\mathrm{Weibull}(\gamma=0.7)$ и $\mathrm{Weibull}(\gamma=1.5)$ на одном графике в логарифмической шкале по оси y, чтобы видеть разницу хвостов.

✍️ Разберём на числах

Weibull с $c = 0.001$, $\gamma = 0.7$: хвост $S(x) = e^{-0.001 x^{0.7}}$ убывает медленнее Exp — реалистично для промышленного страхования. $\mathrm{Burr}(2, 100, 0.7)$: $S(x) = (100/(100 + x^{0.7}))^2$ — ещё гибче.

📐 Формула

Weibull: $S(x) = e^{-c x^\gamma}$, $c > 0$, $\gamma > 0$.

\[\mathrm{Burr}(\alpha, \lambda, \gamma):\ S(x) = \left(\frac{\lambda}{\lambda + x^\gamma}\right)^\alpha\]

$\alpha$ — параметр формы хвоста, $\lambda$ — масштаб, $\gamma$ — форма изгиба. При $\gamma = 1$: $\mathrm{Burr} \to \mathrm{Pareto}$.

→Теперь у нас пять семейств: Exp, Gamma, LogN, Pareto, Weibull/Burr. Как сравнивать их хвосты систематически? Следующий атом — критерий «тяжёлый vs лёгкий» хвост.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →