●\(A_x\) выплачивает 1 ₽ только в КОНЦЕ года смерти. Но настоящая страховка платит сразу, как наступила смерть, — в среднем на полгода раньше. Эти полгода дисконта стоят денег. Насколько \(\bar{A}_x\) дороже \(A_x\)?
Если смерти распределены равномерно внутри года (допущение UDD), то в среднем выплата происходит на полгода раньше «конца года». Значит её надо домножить примерно на полугодовой рост \((1+i)^{1/2}\) — отсюда \(\bar{A}_x \approx (1+i)^{1/2} A_x\).
✍️ Разберём на числах
\(x = 60\), \(i = 4\%\). Дискретная страховка \(A_{60} = 0{,}459\). Тогда \(\bar{A}_{60} \approx (1{,}04)^{1/2} \cdot 0{,}459 = 1{,}0198 \cdot 0{,}459 \approx 0{,}4681\). Точная формула \((i/\delta)A_x\) при \(\delta = \ln 1{,}04\): \(1{,}01987 \cdot 0{,}459 = 0{,}46812\) — то же с точностью до 4-го знака. (Проверено python.)
📐 Формула
\(\bar{A}_x \approx (1+i)^{1/2}\,A_x\) (UDD); точная форма \(\bar{A}_x = (i/\delta)\,A_x\), где \(\delta = \ln(1+i)\) — сила процента. \(A_x\) — выплата в конце года смерти.