Справочник › Теория вероятностей › Непрерывные распределения › Распределение Парето \(\mathrm{Pareto}(\alpha,\, \lambda)\)
Распределение Парето \(\mathrm{Pareto}(\alpha,\, \lambda)\)
●Убытки \(\mathrm{Pareto}(3, 500)\). Среднее убытка? \(500/(3-1)=250\). При \(\alpha=2\): среднее \(= 500\), но дисперсия бесконечна!
Парето — «тяжёлый хвост»: большие убытки случаются заметно чаще, чем при экспоненциальном. Чем меньше \(\alpha\) (>1), тем толще хвост и больше среднее.
Сравнение PDF Pareto и Exponential с одинаковым средним. Хвост Pareto значительно толще.
✍️ Разберём на числах
\(\mathrm{Pareto}(3, 300)\): \(E[X] = 300/(3-1) = 300/2 = 150\). \(Var[X] = 3 \cdot 300^2/(2^2 \cdot 1) = 3 \cdot 90000/4 = 67500\); \(\sigma = \sqrt{67500} \approx 260\).
📐 Формула
\[E[X] = \frac{\lambda}{\alpha-1}, \quad Var[X] = \frac{\alpha\lambda^2}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}.\]
→При франшизе \(E\): страховщик платит среднее \(E[X]-E[\min(X,E)] = \frac{\lambda}{\alpha-1}\cdot\left(\frac{\lambda}{\lambda+E}\right)^{\alpha-1}.\)
Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.
Решить в боте →