Справочник › Теория вероятностей › Дискретные распределения › Распределение Пуассона $\mathrm{Poi}(\lambda)$

Распределение Пуассона $\mathrm{Poi}(\lambda)$

●Страховщик знает: в среднем 3 обращения в месяц. Какова вероятность ровно 5 обращений? Пуассон с $\lambda=3$ отвечает на этот вопрос.

Пуассон возникает как предел Бинома: $n \to \infty$, $p \to 0$, $np = \lambda$. Это модель редких событий в большом числе «попыток».

Уникальное свойство: $E[X] = Var[X] = \lambda$. Значит, стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{\lambda}$, а не $\lambda$!

$Гистограмма $\mathrm{Poi}(\lambda)$. Слайдер позволяет менять $\lambda$ от 1 до 8.$

Гистограмма $\mathrm{Poi}(\lambda)$. Слайдер позволяет менять $\lambda$ от 1 до 8.

✍️ Разберём на числах

$\lambda=3$, $k=2$: $P(X=2) = \frac{3^2 e^{-3}}{2!} = \frac{9 \cdot 0{,}0498}{2} = 0{,}2240$.

Или через рекуррентность: $P(X=0) = e^{-3} \approx 0{,}0498$; $P(X=1) = (3/1) \cdot 0{,}0498 = 0{,}1494$; $P(X=2) = (3/2) \cdot 0{,}1494 = 0{,}2240$.

📐 Формула

\[P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad E[X] = Var[X] = \lambda, \quad \sigma = \sqrt{\lambda}.\]

→Если за 1 месяц $X \sim \mathrm{Poi}(\lambda)$, то за $t$ месяцев число событий $\sim \mathrm{Poi}(\lambda t)$ — свойство Пуассоновского процесса.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Распределение Пуассона \(\mathrm{Poi}(\lambda)\)