Монотонность вероятности разорения
●У нас в руках формула \(\psi(u) \leq e^{-Ru}\). Что происходит с вероятностью разорения, если увеличить резерв? нагрузку? средний иск? интенсивность? Простая таблица — и никакой путаницы.
Всё сводится к коэффициенту поправки \(R\). Что повышает \(R\) — снижает \(\psi(u)\): больше \(u\) → прямо снижает \(e^{-Ru}\); больше \(\theta\) → \(R = \alpha\theta/(1+\theta)\) растёт; меньше средний иск (больше \(\alpha\)) → \(R\) растёт; интенсивность \(\lambda\) — не влияет (выпадает из \(R\) на бесконечном горизонте). Тяжёлый хвост иска снижает \(R\).
Таблица «параметр ↑ | изменение \(\psi(u)\) | причина»: \(u \uparrow \to \psi \downarrow\) (прямо снижает \(e^{-Ru}\)); \(\theta \uparrow \to \psi \downarrow\) (\(R\) растёт); \(\alpha \downarrow\) (иск крупнее) \(\to \psi \uparrow\) (\(R\) падает); \(\lambda \uparrow \to\) без изменений (\(\lambda\) выпадает из \(R\)).
✍️ Разберём на числах
Портфель: \(\alpha = 0{,}01\), \(\theta = 0{,}2\), \(u = 1000\). \(R = 0{,}01 \cdot 0{,}2 / 1{,}2 \approx 0{,}001667\); \(\psi(1000) \leq e^{-1{,}667} \approx 0{,}189\). Удваиваем нагрузку \(\theta = 0{,}4\): \(R = 0{,}01 \cdot 0{,}4 / 1{,}4 \approx 0{,}002857\); \(\psi(1000) \leq e^{-2{,}857} \approx 0{,}057\). Нагрузка выросла в 2 раза — граница упала в 3.
📐 Формула
\(\psi(u) \leq e^{-Ru}\), \(R = \alpha\theta/(1+\theta)\) (для Exp-иска). Факторы снижения \(\psi(u)\): \(\uparrow u\), \(\uparrow\theta\), \(\uparrow\alpha\) (более лёгкий хвост). Фактор роста \(\psi(u)\): \(\downarrow\alpha\) (более тяжёлый/крупный иск). Нейтральный фактор на \(\infty\)-горизонте: \(\lambda\) (выпадает из \(R\)).